wobei Frauen ja nicht unbedingt immer logisch sind...
...
eigentlich ist es zu einfach, aber wahrscheinlich übersehe ich nur was.
Es muss in der Kaffeetasse mehr Milch sein, weil die Kaffeetasse einen vollen Löffel Milch erhalten, aber dann nur einen quasi-halben abgegeben hat.
Die Milchtasse hat je einen quasi-halben Löffel Milch und Kaffee erhalten.
...
Andererseits: wie doll hast du denn gerührt?
...
Lotte
im vollen Bewusstsein, was übersehen zu haben!

@Lotte:
Klar habe ich alles total verrührt, jedoch is nix übergeschwappt!

Kann mann auch ausrechnen.

gleich viel...
@Tu
es kommt zwar ein voller Löffel rein, es wird dann aber auch wieder (um bei deinem Löffel / Tassen Größenverhältnis? zu bleiben ) ein halber Löffel Milch zusammen mit dem Kaffee aus der Kaffeetasse (mit Milch) in die Milchtasse geschüttet.

• ... per Gefühl (Männer haben viel davon), Rechnung (z.B. mit einer Tasse mit 0,9 l Fassungsvermögen und einem "Kaffelöffel" mit 0,1 l Fassungsvermögen) und Software-Simulation/Iteration

In der Milchtasse ist mehr Milch, als in der Kaffeetasse Kaffee ist.
Es war ein voller Löffel Milch aus der Milchtasse in die Kaffeetasse gewandert. Der Löffel, der anschliessend zurückgegeben wurde, enthielt Kaffe und Milch in dem Verhältnis, in dem sich beide Flüssigkeiten in der Kaffeetasse befanden, also wesentlich mehr Kaffee als Milch. In der Kaffeetasse hat sich durch die Entnahme eines Löffels der Mischung das Mischungsverhältnis nicht geändert. Aber in die Milchtasse ist eine Löffelfüllung geflossen, die bedeutend mehr Kaffee als Milch enthielt. Da sich der Unterschied zwischen beiden Tassen am Ende ausschliesslich aus dem Unterschied der Löffelfüllungen ergibt, gilt:
Ein Löffel schlägt einen Löffel Kaffee mit etwas Milch.

Ein Löffel Milch schlägt einen Löffel Kaffee mit Milch.

pflege eigentlich immer zuerst die Milch (viel Milch) in die Tasse zu gießen und dann Kaffee bis zum Stehkragen dazu.

GP, Sie meinen, man sollte eher mit Gefühl an's Kaffeetrinken rangehen? Ist das nicht rausgeschmissenes Gefühl?
Auf jeden Fall werde ich das ausprobieren - trotzdem ein großes Dankeschön an JDB, weil er mir nicht die Reaktion aus dem grünen (habe ich erst später gelesen) um die Ohren gehauen hat. Das hätte mich doch wirklich total entwaffnet!
Lotte

im Mathewettbewerb der PISA-Studie besser abgeschnitten als z.B. die Bayern?
mfg Ortwin

1. Ausgangszustand:
   Kaffeetasse: 0,9 l Kaffee
   Milchtasse: 0,9 l Milch
2. Es wandert 0,1 l Milch von der Milch- zur Kaffeetasse
   Kaffeetasse: 0,9 l Kaffee + 0,1 l Milch
   Milchtasse: 0,9 l Milch - 0,1 l Milch (ist unwichtig)
3. Es wandert 0,1 l Milch-Kaffee-Mischung zurück, wobei das Verhältnis 9 Teile Kaffee und 1 Teil Milch ist
   Kaffeetasse: 0,9 l Kaffee + 0,1 l Milch - 0,1(9/10 Kaffee + 1/10 Milch) => 0,1 l Milch - 0,01 l Milch = 0,09 l Milch in der Kaffeetasse
   Milchtasse: Es kommt rein 0,1(9/10 Kaffee) => 0,09 l Kaffee in der Milchtasse

Das ist kein Massstab in diesem Fall. Ich war nur gut in Geometrie und formaler Logik. Mit der Arithmetik war ich weniger gut befreundet.

Stode hat seine Stärken in formaler Logik !?
Nun denn:
Falls mehr Milch im Kaffee wäre, als Kaffee in der Milch, dann müßte ja insgesamt mehr Milch als Kaffee vorhanden sein, oder?
Die Mengen waren jedoch gleich.
Man denke in Bilanzen, ganz ohne zu rechnen.
:)

wenn ich gleichzeitig (mit zwei Löffeln) aus jeder Tasse einen Löffel entnehmen und in die jeweils andere reintun würde, wäre in jeder der Tassen nachher das geiche Mischungsverhältnis.
Weil ich aber im vorliegenden einen Löffel der anderen Flüssigkeit dazutue ohne zuvor einen Löffel entnommen zu haben ist das Mischungsverhältnis anders als wenn man wie oben vorgeht. Also können die Verhältnisse nicht gleich sein.

Rästel ist j aschon gelöst, deshalb OT:
Ganz entscheidend ist bei Kaffee auch die Zubereitung, die möglichst von einem unabhängigen Gutachter kontrolliert werden sollte. Die DIN^A 0815 zitiert hier aus LUCKY LUKE "Stacheldraht auf der Prärie", 1971, Goscinny + Morris
"Für einen guten Kaffee feuchtet man ein Pfund Kaffee mit Wasser an und läßt alles zusammen eine halbe Stunde köcheln. Dann macht man die Hufeisenprobe. Geht das Eisen unter, wars zu wenig Kaffee. .. "
Grüße
Oliver

Moin,
JDB füllt ERST von der Milchtasse in den Kaffee. Es entsteht ein Mischungsverhältnis x.
Danach füllt er aus diesem Mischungsverhältnis x eine definierte Menge in die Milchtasse und hat ein anderes Mischungsverhältnis y.
Begründung:
x ist ja ein bereits bestehendes Mischungsverhältnis aus nicht reinem Kaffee. Fülle ich nun eine definierte gleiche Menge aus eben diesem Mischungsverhältnis zurück, sind ja weniger Kaffeeanteile in der Fixmenge x, die dadurch zu y mutiert.
Oder anders:
ich fülle zu 1000 Teilen Kaffee 100 Teile Milch und mische die, erhalte ich ein Verhältnis von 1/10. Fülle ich nun wieder 100 Teile aus dieser Mischung zurück, dann habe ich 99 Teile der einen Sorte und mindestens 1 Teil der anderen. Eines MUSS demnach weniger oder eben mehr sein.
Grüße
stefan

den Fehler in dem "logischen" Ansatz gefunden?

nochmal für die ostwestfalen:
egal wie(!) ich mische:
Die Summe der beiden Teile Milch ergeben die Ursprungsmenge
Die Summe der beiden Teile Kaffee ergeben die Ursprungsmenge
Beide Ursprungsmengen waren gleich.
Also müssen die Mischungverhältnisse "kehrwertig" gleich sein.
Da kannst Du rechnen wie Du willst, wenn das nicht dabei herauskommt, hast Du falsch gerechnet.
Denke in Bilanzen!

Der "logische" Fehler ensteht, wenn man sich nur auf den Inhalt des Löffelchens konzentriert. Natürlich ist beim ersten Hinlöffeln 100% Milch im Löffel, während man beim Zurücklöffeln bereits ein Gemisch transferiert. ABER: Dieses Gemisch löffelt man dann in eine Tasse, die gar nicht mehr ganz voll ist (da fehlt ja der Löffel von vorhin). Wenn man´s nachrechnet (wie GP) sieht man, dass sich die beiden Effekte genau ausgleichen.
Grüße

is falsch, aber Ihr wissst, was ich meine...

habt ihr mal über die Löffelgröße nachgedacht?
Gröööööhhhhhhhl!
Lotte

für Frauen, Schweden und andere Rechengenies:
2 Tassen mit je 120 Teilen Milch(M) und Kaffee(K).
Ich entnehme 60Teile aus M und fülle sie in K. Es verbleiben 60 Teile M in der M-Tasse und in der K-Tasse sind 120 Teile K plus 60 Teile M (Verhältnis1:2)
Jetzt entnehme ich der K-Tasse 60Teile. Das Verhältnis 1:2 bleibt dabei gleich, also gehen 20Teile M zusammen mit 40 Teilen K in die M-Tasse retour.
Jetzt sind in der M-Tasse also 60+20=80Teile M und 40 teile K.
Und in der K-Tasse befinden sich 120-40=80 Teile K und 60-20=40 Teile M
Noch Fragen?

Sollten wir nicht zuerst einmal versuchen, Einigkeit darüber zu erzielen, ob, wie der "Bauherr" behauptet hat, anfänglich beide Tassen wirklich gleich voll waren, bevor wir uns der Frage zuwenden, ob nach dem Austausch der Teelöffel die Tassen wirklich wieder gleich voll sind - so wie dies der "Bauherr" leichfertig behauptet ))
@Tu: Je mehr man(n) es verschwendet, desto mehr wird/werden es: Gefühl, Liebe, ..., Kinder, ..., Enkelkinder, ... ))

1 Liter Milch, 1 Liter Kaffee
Man schütte eine beliebige Menge Milch in einen Gefäß.
Man gebe solange Kaffee dazu, bis 1 Liter erreicht ist.
Wenn ich nun die beiden "Reste" in ein anderes Gefäß gebe, dann habe ich auch dort exakt einen Liter. Die "beliebige Menge Milch" im ersten Gefäß ist genauso groß wie die Menge Kaffee in dem anderen Gefäß.
Wo sollte auch die Mehrmenge herkommen? Die waren doch beide gleich!
Um die Kurve zu meinem Ausgangsbeispiel zu bekommen, vergesst das "Vorgeplänkel" mit dem Kaffeelöffel. Das ist reine Irreführung. Nehmt die beiden gemischt-gefüllten Gefäße als gegeben an.
Frage an Ostwestfalen: okay?

Weil:
1.000 Teile Kaffe - 100 Teile = 900 Teile Kaffee
1.000 Teile Milch + 100 Teile Kaffee = 1.100 Teile Gemisch x = Verhältnis 10 Teile Milch zu 100 Teilen Kaffee
1.100 Teile Gemisch im Verhältnis 10/100 - 100 Teile Gemisch 10/100 = 1.000 Teile Gemisch.
ABER: in den 100 Teilen ist ja auch ein Mischungsverhältnis von 10/100 = 1 Teil Kaffee zu 99 Teilen Milch. Bei exakt gleichen Mengen als Voraussetzung.
Fülle ich nun dieses 1/10 Gemisch wieder zu den 900 Teilen Kaffee dann:
900 Teile Kaffee + 99 Teile Kaffee + 1 Teil Milch = 999 Teile Kaffee + 1 Teil Milch = 1.000 Teile gesamt.
So, wo soll da der Rechenfehler sein? :)
Grüße
si

Nicht alles was hinkt, ist auch ein Beispiel...

Nur das wirkliche Rätzel am Rätzel bleibt noch immer ungelöst:
1. Was ist überhaupt die Rützelfrage und 2. was will der OP uns eigentlich damit sagen?

• nachdenklich* Bettina

Mr D. Bakel,
woher hast Du auf einmal einen "Kaffelöffel"? Hat sowas die gleiche Größe wie ein "Teelöffel"? Darf man überhaupt ein "Teelöffel" für Kaffee benutzen? Gibt es jetzt Tee in der Mischung? ))
greetings

mal zu JDB's Beispiel: Nehme einen Liter Alkohol (markt Birne Hol) und einen Liter Wasser und kippe das zusammen. Wieviel Liter bekommt man raus, wieviele Volumenprozent Alkohol hat das Gemisch und bekomme ich vom Genuss einen Kater? das Zauberwort heisst Volumenkontraktion, Mischung von Flüssigkeiten unterschiedlicher Dichte... nun hab ich meine Tabellen nicht dabei - aber schön mal wieder was kniffliges von JDB zu hören.

1. Stimmt die JDB'sche Aussage immer noch, wenn
   • 2x nacheinander hin und her gelöffelt (und gerührt) wird?
   • Nx nacheinander hin und her gelöffelt (und gerührt) wird?
2. Wie oft muß gelöffelt (und gerührt) werden, damit sich in beiden Tassen das absolut gleiche Mischungsverhältnis einstellt - z.B. in jeder Tasse 70 % Kaffee und 30 % Milch?

Moin,.
Auch nach mehrfachem Hin-und Herlöffeln bleibt das Mischungsverhältnis in den Gefäßen gleich. Umrühren ändert nix daran, wir gehen hier vom Idealfall aus und der ist gut umgerührt!
Wie man aber zu dem Mischungsverhältnis "in jeder Tasse 70 % Kaffee und 30 % Milch" kommen soll, ist mir schleierhaft. Wie macht man aus 40% Milch 40% Kaffee?

• fragendeblickewerf*

... natürlich nur ein Beispiel - nicht das endgültige Lösungs-Mischungsverhältnis.

@Stephan: Ein Liter Alkohol und ein Liter Wasser zusammen gekippt ergibt aber kein 2 Liter Fluessigkeit. Da war doch was mit Molekulgroesse.
--
...koennte uebrigens auch mit Kaffee und Milch der Fall sein
--
Jede Freude ohne Alkohol ist kuenstlich.
--
Wollte nur mal testen, ob mein Password noch funktioniert.

ist da: wenn ich ein Gemisch 10/1 oder 100/10 mit 1000 Teilen habe und entnehme 100 Teile habe ich darin ein Gemisch 10/1. Also nicht 99/1 sondern 90/10 - dann stimmt´s.

natürlich nicht 90 und 10 sondern 100/11*9 und 100/11.

Unterstellt, wir sprechen von gleicher Mischung, wenn die Mischungsverhältnisse um weniger als 0,001 (absolut) differieren,
muss ich hin- und herlöffeln:

• 208 mal bei Kaffeetasse (150 ml) und Kaffeelöffel (3 ml)
• 623 mal bei Kaffeetasse (150 ml) und Mokkalöffel (1 ml)
• 346 mal bei Kaffeepott (250 ml) und Kaffeelöffel (3 ml)
• 1037 mal bei Kaffeepott (250 ml) und Mokkalöffel (1 ml)
• 13824 mal bei Putzeimer (10 l) und Kaffeelöffel (3 ml)
• 41471 mal bei Putzeimer (10 l) und Mokkalöffel(1 ml)

...
...
... sagt mir MicrosoftSichtlichgrundlegendes (Google-Übers.)

Überlegungen nicht einbezogen - exakt gleich sollte es sein - 50 % Kaffee und 50 % Milch (keine Abweichung) - dies ist einfacher zu berechnen

wenn der Löffelinhalt < Tasseninhalt ist, ewig. Man nähert sich an - langsam, aber sicher.

wie war die Ausgangsfrage?
Ist in der Kaffeetasse mehr Milch oder in der Milchtasse mehr Kaffee?
Das Mehr kann nun Volumenprozent oder Gewichtsprozent sein, mehr ist nicht definiert. Was ist, wenn JDB einen Qubikmeter Sand hat, einen Qubikmeter Zement und einen Qubikmeter Wasser, wenn JDB dann 100 Liter Wasser mit 1000 Liter Sand mischt und danach misst, wieviel Liter in der Wanne drin sind, dann stellt der Praktiker fest, dass die Wanne immer noch nur 1000 Liter Inhalt hat. Nun werden 100 Liter von diesem tollen Gemisch in die restlichen 900 Liter Wasser gekippt und geschaut, wie voll die zweite Wanne ist - wie voll ist sie denn

Der Praktiker nimmt einfach ein ausreichend großes Gefäß, kippt alle Komponenten hinein, mischt und verteilt dann

an den Stöchiometrischen Verhältnissen.

Stelle doch mal vor, der Loeffel ist so gross, dass der ganzen Inhalt einer Tasse hereinpasst. Damit ist nach der 1. Loeffel eine Tasse leer und die andere Tasse doppelt so voll als im Anfang.
--
Gut ruehren... (die volle Tasse natuerlich
--
Loeffel fuellen und wieder zurueck in der 1. Tasse.
--
Damit ist in beide Tassen das Mischverhaeltnis genau gleich und entspricht selbstverstaendlich die obengenannte erkenntnisse.

Moin,
nee, Eric, wenn komplett umgeschüttet würde, dann würde ich ja zustimmen, aber doch nicht bei der Kaffelöffelversion.
Auch Marions bildlichen Darstellungen im grünen Forum bringen mich nur unzureichend weiter.
Nochmals - es wird ein bereits verschmischter Kaffee zurücktransveriert.
Hach JDB, Du lockst mich doch tatsächlich aus der Reserve :)
Nu erklärt es mir doch mal. Energiesparer wollte mir ja zunächst auch folgen, bis er dann kurzfristig "umgekippt" ist :)
Grüße
si

Versuchen wir mal ein einfaches Gedankenspiel:
2 Behälter
Behälter 1: 100 schwarze (Kaffee-)kugeln
Behälter 2: 100 weiße (Milch-)Kugeln
Nun nehmen wir aus Behälter 1 10 Kugeln (Farbe egal und bringen sie in Behälter 2
Wenn wir wollen, können wir nun mischen, müssen aber nicht (hat keine Auswirkung auf das Ergebnis)
Nun nehmen wir aus Behälter 2 10 Kugeln (auch hier ist die Farbe egal) und bringen sie in Behälter 1
Resultat: In beiden Behältern sind wieder 100 Kugeln.
Folgerung: Wenn nun durch Zufall beim "Zurücklöffeln" eine bestimmte Zahl andersfarbiger Kugeln von Behälter 2 nach Behälter 1 gekommen ist, in beiden Behältern aber wieder gleichviel Kugeln sind, muß demzufolge die gleiche Zahl komplementärfarbiger Kugeln im anderen Behälter sein.

Moin Ralf,
was aber passiert, wenn die Farbe der Kugeln NICHT egal ist?
Wenn also 9 schwarze und 1 weiße Kugel zurück gekippt werden?
Daß die Gesamtmengen in beiden Tassen exakt gleich ist, ist ja unstreitig.
Ich weigere mich aber zu glauben, daß exakt soviel Kaffee in der einen Tasse ist, wie Milch in der anderen. Begründung hatte ich ja mehrfach geliefert :)
Irgendwie wollt Ihr mich nicht verstehen :) Ihr kippt doch eine MISCHUNG - also schwarze UND weiße Kugeln - zurück!!
Los, kommt schon, überzeugt mich
si

Nehmen wir mal an, er ist genau halb so groß wie eine Tasse. Jede Tasse hat 60 Teilchen.
30 Teile M entnehme ich der Milchtasse und tue sie in die Kaffetasse.
Ergebnis Milchtasse: 30M.
Ergebnis Kaffeetasse: Mischung aus 60 K+30 M.
Dann nehme ich 30 Teilchen dieses gut umgerührten Gemisches (also 20K+10M) wieder zurück in die Milchtasse.
Ergebnis Milchtasse: 30M+(20K+10M) = 40M+20K.
Ergebnis Kaffeetasse: (60K+30M)-(20K+10M) = 40K+20M.
Der Anteil K in Milchtasse ist somit gleich groß wie M in Kaffetasse. Nun alles klar?

Unstrittig ist, daß nach hin- und herlöffeln/schutten/legen/... in beiden Behältern/Tassen/... wieder die absolut gleiche Zahl an Kugeln/Molekülen/... sind.
Dann zur Preisfrage: Wenn nun inzwischen 8 Milch-Kugeln/Moleküle/... im Behälter/Tasse/... 1 sind, wie viele Kaffe-Kugeln/Moleküle/... müssen logischer-/praktischer/absolut100%sicherer-Weise in Behälter/Tasse/... 2 sein?

das war wirklich eine überzeugende Erklärung. Klasse!

Um bei dem Beispiel zu bleiben:
Ich habe insgesamt nur je 100 schwarze und weisse Kugeln. (vorher und Nachher)
In jeder Tasse sind nachher wieder 100 Kugeln. Die weissen Kugeln, die nicht in der weissen Tasse sind, müssen in der schwarzen Tasse sein (wo wären Sie sonst) und die schwarzen Kugeln, die nicht in der schwarzen Tasse sind, müssen in der Weissen sein. (Es wurden ja weder Kugeln dazugenommen, weggenommen oder "umlackiert")
Es haben nur soviele weisse Kugeln in der schwarzen Tasse Platz, wie dort Schwarze "fehlen" (und folglich in der Weissen Tasse sind)

M = Milch
K = Kaffee
l = Volumen Löffel
t = Volumen Tasse
[1] steht für Tasse 1
[2] steht für Tasse 2
Start:
[1] M
[2] K
[A] einmal umlöffeln:
[1] (t-l)/t * M
[2] K + l/t * M
[B] ein Löffel der Mischung in [2] entspricht dem Anteil l/(t+l) * (K + l/t * M), nach dem zweiten Umlöffeln ergibt sich also:
[1] (t-l)/t * M + l/(t+l) * (K + l/t * M)
[2] K + l/t * M - l/(t+l) * (K + l/t * M)
[C] ausmultipliziert:
[1] (t-l)/t * M + l/(t+l) * K + (l*l)/((t+l)*t) * M
[2] K + l/t * M - l/(t+l) * K - (l*l)/((t+l)*t) * M
[D] K und M zusammengefasst:
[1] ((t-l)/t + (l*l)/((t+l)*t)) * M + l/(t+l) * K
[2] (1 - l/(t+l)) * K + (l/t - (l*l)/((t+l)*t)) * M
[E] ausmultipliziert:
[1] t/(t+l) * M + l/(t+l) * K
[2] t/(t+l) * K + l/(t+l) * M
Wie man sieht, sind die Faktoren gleich:
t/(t+l) = t/(t+l) und
l/(t+l) = l/(t+l)
Es ist also genauso viel Milch im Kaffee wie Kaffee in der Milch.
Das Ausmultiplizieren der Faktoren aus [D] in Einzelschritten:
Faktor von M in Gleichung [1]:
(t-l)/t + (l*l)/((t+l)*t) || Erweiterung Bruch 1 mit (t+l)
(t-l)(t+l)/(t+l)t + (l*l)/((t+l)t) || Zähler Bruch 1 ausmultipliziert
(t²-l²)/(t+l)t + l²/(t+l)t || Brüche addieren
(t²-l²+l²)/(t+l)t || l² fällt raus
t² / (t+l)t || Kürzen durch t
t/(t+l)
Faktor von K in Gleichung [2]:
1 - l/(t+l) || Erweitern Summand 1 mit (t+l)
(t+l)/(t+l) - l/(t+l) || Brüche addieren
(t+l-l)/(t+l) || l fällt raus
t/(t+l)
Die logische Erklärung ist viel kürzer. Nach dem Umlöffeln befindet sich in Tasse 1 eine größere Menge Milch M und eine kleinere Menge Kaffee k. In der anderen Tasse sind K und m.
[1] M + k = T1
[2] K + m = T2
Wir wissen, dass die Gesamtmenge Milch der Tasse 1 entspricht:
[3] M + m = T1
Ebenso beim Kaffee:
[4] K + k = T2
Wir ersetzen in Gleichung 1 das T1 durch M+m (aus [3]):
M + k = M + m || M fällt raus
k = m
Es ist genauso viel Milch im Kaffee wie Kaffee in der Milch, wir wissen hier nur nicht wie viel. Die Tassen müssen übrigens nicht gleich groß sein.

Jetzt weiß ich auch, was du die letzten Stunden getan hast, Bruno
))))))
Lotte
PS: si, löffelst du noch?

Bruno hat sich dafür gestern und heute frei genommen

Soo schlimm ist Algebra 7. Klasse doch nicht, das sind doch nur die 4 Grundrechenarten. OK, auf die Darstellung der Nebenrechnungen habe ich mir extra für euch Zeit genommen, das geht mit Frühstückskaffee eigentlich im Kopf

Damit du nicht weiterlöffeln musst ein Zahlenbeispiel zu meiner Algebra-Orgie:
Wenn die Tasse 180 ml hat und der Löffel 3 ml, ist am Ende (l/(t+l))*180 = 540/183 ~ 2,95 ml Milch und (t/(l+t))*180 = 32400/183 ~ 177,05 ml Kaffee in der Tasse. In der anderen Tasse ist es umgekehrt.

...die vier Grundrechenarten.....
Und ich dachte bisher immer, Algebra ist, wenn mann z.B. nachts um dreiviertel Zwölf seine Wurzel aus einer Unbekannten zieht...
Danke Bruno, wieder was dazu gelernt.

komm, wir gehen ein Bier trinken )

...

Moin,
heute Abend werde ich eines auf Dein wohl trinken ghen :)
Dank ersteinmal allen, die versucht haben einem doofen Dachdecker wie mir eine Erklärung abzugeben, die ich dann auch noch einsehe :)
Es ist erstaunlich, wie lange man(n)/frau sich über ein solches Thema unterhalten kann und wie kreativ Rechenköpfe sind.
Am einfachsten fand ich die Erklärung von M. Halbinger, besonders den letzten Satz. Der hat überzeugt, so das denn überhaupt notwendig war.
Ich hoffe, Ihr habt jetzt nicht den schlechtesten Eindruck von mir :)
Grüße
stefan

bei mir bedurfte es auch erst einer persönlichen/telefonischen Beratung, bevor ich mich überzeugen ließ (ein dankeschön an den gutaussehenden männlichen Berater *g*).