Ein
Träger mit der Länge l wird
über seine gesamte Länge
mit einer Streckenkraft q belastet.
Am linken Auflagerrand befindet sich
der Punkt a und am rechten der Punkt
b. Das System ist 1-fach statisch unbestimmt,
deshalb können die vorhandenen
Auflagerkräfte nicht durch die
3 Gleichgewichtsbedingungen ermittelt
werden.
Statisch bestimmtes Ersatzsystem
Der
erste Schritt ist das Herstellen eines
statisch bestimmten Ersatzsystems.
Dafür müssen wir in diesem
Fall eine Auflagerreaktion 'entfesseln'.
Hierfür gibt es 4 verschiedene
Möglichkeiten. Hier ersetzen wir
die Auflagerkraft BV durch
die Kraft X1. Den Betrag
der Kraft setzen wir 1. Somit ist dieses
System unbeweglich und statisch bestimmt.
Lastspannungszustand
Nun
betrachten wir das System wie es sich
unter der ursprünglichen Belastung
verformt. Der Punkt b wird um den Betrag
db0
(delta b0) nach unten verschoben.
Der erste Index (b) bezeichnet den
Ort und der Zweite (0) die Kraft bzw.
die Ursache der Verschiebung. Der Lastspannungszustand
erhält immer den Index 0.
Lastspannungszustand
Die Durchbiegung db0
entnehmen wir vorerst mal einem Tabellenwerk
(z.B. Schneider Bautabellen), später
werden wir diese Formel noch selber
herleiten.
Eigenspannungszustand
Nun
betrachten wir wie stark unsere angebrachte
Kraft 1 den Träger nach oben biegt.
Da diese Kraft ursprünglich vom
System (Auflager) stammt nennt man
dies den Eigenspannungszustand. Bei
n-fach statisch unbestimmten Systemen
gibt es n Zustände. Da dies der
erste ist, erhält dieser den Index
1 folglich heißt die Verschiebung
des Punktes b hier db1.
Eigenspannungszustand
Wieder
entnehmen wir die Formel aus einem
Tabellenwerk. ACHTUNG! Negatives Vorzeichen,
da der Träger in anderer Richtung
wie durch q verschoben wird.
Verträglichkeitsbedingung
Da
am Punkt b durch das vorhandene Auflager
keine Verschiebung stattfinden kann
muss sich die Verschiebung durch die
Belastung q mit der aus X1
aufheben. Also X1 mal die
Verschiebung aus der Kraft 1 PLUS die
Verschiebung durch q ist null.
Lösung
Durch
Einsetzen in die Verträglichkeitsbedingung
erhalten wir dann schließlich
den Wert für X1. Da
dies den Wert 1 hatte ist dies zugleich
der Wert für BV. Nun
gibt es nur noch 3 unbekannte Auflagerreaktionen,
welche, wie schon bekannt, mit Hilfe
der 3 Gleichgewichtsbedingungen bestimmt
werden können.
